ELETTROTECNICA

LEZIONE 6 (FAGIOLI)

prof. Romei Michele

2 h.

I° principio di Kirchoff (nodi)

La somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti cioè: la somma algebrica delle correnti che interessano un nodo è uguale a zero.

In questo caso scriveremo:

I₁+I₂+I₃=I₄+I₅

II° principio di Kirchoff (maglie)

def. Nodo : punto in cui convergono più di un conduttore, nello schema è contrassegnato da un pallino sulla giunzione

def. Ramo : parte di circuito delimitato da due nodi

def. Maglia : parte di circuito chiuso

La somma algebrica delle forze elettromotrici (f.e.m. cioè i generatori) e delle cadute di tensione (c.d.t: le differenze di potenziale ai capi di ogni singola resistenza) che si incontrano in una maglia è uguale a zero.

In questo caso abbiamo per semplicità un'unica corrente I che percorre una maglia chiusa. Lungo il percorso sono dislocate le f.e.m (i generatori) E₁,E₂,E₃ e le resistenze R₁, R₂, R₃,R₄ che causano le c.d.t. V₁,V₂,V₃,V₄.
Dopo aver considerato arbitrariamente come senso positivo per le tensioni il senso orario, avremo dunque:

che ci porterebbe a scrivere:

Che ci permette di calcolare l’incognita I dato che in genere i generatori e le resistenze sono noti.
Come nel caso della legge di Ohm la corrente può essere ottenuta dal rapporto fra una tensione ed una resistenza. Per tale motivo il II° principio di Kirchhoff viene talvolta chiamato legge di Ohm generalizzata.
Allo stesso risultato saremmo potuti pervenire attraverso altre considerazioni:

essendo il circuito iniziale un’unica maglia chiusa percorsa dall’unica corrente I , la stessa vede le 4 resistenze in serie ed i 3 generatori ugualmente in serie; da ciò si deduce come il circuito sia riconducibile ad un’unica resistenza
R_T=R₁+R₂+R₃+R₄ ed un unico generatore E_T=E₁+E₂- E₃In questa unica maglia chiusa si riconosce

possiamo qui dire che in presenza di una maglia chiusa in cui vi è un unico generatore ed un’unica resistenza la corrente circolante può essere ottenuta dividendo il valore del generatore per il valore della resistenza.
Il caso più generale che può essere risolto coi principi di Kirchoff è il seguente:

definendo :

n : numero di nodi

r : numero di rami

per trovare tutte le correnti di una rete elettrica mi servono

n-1 : equazioni dei nodi

r-(n-1) : equazioni delle maglie
Infine metto a sistema le equazioni ricavate e calcolo i valori che mi servono applicando le soluzioni matematiche del sistema.

Considerando il circuito in figura, si possono scrivere l’equazione al nodo A e due equazioni per le maglie ABC e ABD (o CABD) si fissano arbitrariamente i sensi di percorrenza positivi per le tensioni e (quelli più plausibili) per le correnti dei tre rami e si ottiene il seguente sistema:

che può essere riscritto:

sostituendo al posto delle c.d.t. i rispettivi valori di correnti e resistenze

raccogliendo i fattori

Oss. : Se la soluzione del sistema fornisce valori positivi per le correnti vuol dire che i versi scelti sono quelli reali; se qualche corrente è negativa significa che essa ha il verso opposto a quello inizialmente scelto.

n.d.r.

In pratica le maggiori difficoltà iniziali nell'apprendimento dell'elettrotecnica e dei suoi principi, non riguardano i teoremi fondamentali o i principi di Kirchhoff in particolare, ma la capacità dello studente di analizzare tratti di circuito, piuttosto che intere maglie chiuse. Gli esercizi assegnati riguardano, in genere, topologie a maglie chiuse.

In questo caso l'applicazione della procedura indicata dai principi di Kirchhoff non trova particolari difficoltà di esecuzione da parte degli studenti.
I maggiori errori di interpretazione vengono, invece, riscontrati nell'analisi di tratti di circuiti "aperti".

Un tipico circuito "aperto" è quello illustrato a sinistra, dove è nota la V_AB (magari perché è stata rilevata con un tester). Il generatore E e la resistenza R sono ovviamente note, mentre il problema più frequente consiste nel calcolare la corrente I incognita.

Nel nostro caso, preferiamo considerare un nodo intermedio C, il cui potenziale è, ovviamente, diverso dal potenziale di A e di B.
Il potenziale di C è diverso dal potenziale di A a causa della differenza di potenziale su R.
Il potenziale di C è diverso dal potenziale di B a causa della presenza della forza elettromotrice E.
Evidenziamo dunque i tre nodi A,B e C rappresentando contestualmente le tensioni che li riguardano. Si viene così a creare una maglia chiusa "virtuale" alla quale può essere applicato il secondo principio di Kirchhoff, fissando un verso arbitrario positivo delle tensioni.

Questo approccio viene considerato piuttosto macchinoso e talvolta, lo studente trova pìù semplice fare delle considerazioni intuitive.

I questo caso si preferisce dire che la produzione della V_ABviene ottenuta col concorso della V a cui deve essere sottratto il contributo di E (dato che ha senso opposto).

questo metodo viene spesso preferito dallo studente.

Principio di sovrapposizione degli effetti

E' un principio applicabile non solo ai sistemi elettrici, ma anche ad altri tipi di sistemi (idraulici, meccanici) purchè siano di tipo lineare cioè la caratteristica ingresso-uscita deve essere rettilinea.

La risposta di una rete lineare alla sollecitazione di più generatori indipendenti può essere ottenuta considerando ciascun generatore separatamente attivo e sommando algebricamente le rispettive risposte della rete.

Quando viene considerato l'effetto di un generatore gli altri devono essere non attivi (i generatori di tensione diventano corto-circuiti e quelli di corrente dei circuiti aperti).

Paragonato ad altri teoremi dell'elettrotecnica è un pò lungo come svolgimento, ma i suoi calcoli sono indubbiamente più semplici.
Il modus operandi è molto semplice; ad esempio se in una rete agiscono due generatori E1 ed E2 , si può dapprima considerare agente solo la E1 cortocircuitando E2 e si determinano le correnti nei vari ram, poi si considera agente la sola E2 cortocircuitando E1 e si determinano le correnti corrispondenti. In ciscun ramo la corrente è data dalla somma algebrica delle correnti trovate separatamente.

Thevenin

Una rete lineare vista da due nodi può essere sostituita da un generatore di tensione E_EQ che rappresenta la tensione a vuoto fra i due nodi, in serie con la resistenza equivalente R_EQ vista ai capi dei due nodi calcolata cortocircuitando i generatori di tensione (e aprendo eventuali generatori di corrente).

Ad esempio nello schema seguente la parte di circuito circoscritta dal tratteggio può essere ricondotta ad un unico generatore e ad un'unica resistenza (E_EQ, R_EQ) come mostrato.

Stacchiamo, la parte di circuito da semplificare

Il teorema dice che il generatore equivalente E_EQ cercato è uguale alla tensione V_AB indicata in figura cioè quella vista ai capi dei morsetti del circuito da semplificare, dopo che è stato tolto il carico (la parte di circuito da non semplificare). Nel circuito in questione può circolare un'unica corrente I, erogata dal generatore E₁, essa vede in serie le tre resistenze R₁, R₄ ed R₃, quindi.

Per il calcolo della resistenza equivalente, dobbiamo cortocircuitare i generatori di tensione presenti nella rete da semplificare. In tali condizioni la resistenza vista ai capi dei morsetti A e B è pari a quella vista da un'ipotetica corrente che deve viaggiare a A fino a B quindi :

Possiamo ora riallacciare al carico la parte di circuito semplificata col teorema di Thevenin. Nel caso in questione si riconosce la possibilità di individuare la corrente I₂ che passa sulla R₂ ed è l'unica corrente circolante: .

Esercizi con Kirchoff, thevenin e principio di sovrapposizione degli effetti.