ANGOLI

Se vi chiediamo: cos'è un punto? Sapreste rispondere? Crediamo di no.

Eppure tutti abbiamo fin da bambini il concetto di punto, senza che nessuno ce lo abbia mai spiegato! Ricordiamo quando per la prima volta, abbiamo sentito parlare di punti: la maestra che nel dettato diceva: "punto e a capo", o generiche frasi: "mettiti in quel punto", "il punto dove si trova la palla...." o "all’asilo ci facevano unire dei punti per creare delle figure".
Il punto quindi è uno di quei concetti che si dicono "primitivi", che si sono formati nella nostra testa: concetti astratti. Il punto perciò non si può definire.
E' l'ente geometrico più elementare, è privo di dimensione, né lunghezza, né larghezza, né spessore. Possiamo stabilire solo la sua posizione.
Possiamo dire che il punto non esiste, proprio perché è privo di dimensione, il segno che facciamo noi con una penna, o anche con uno spillo su un foglio, o sullo schermo del computer ... è soltanto una sua rappresentazione.
I punti si indicano nelle rappresentazioni che facciamo per lo studio della geometria, con le lettere maiuscole. Punto A, punto P etc...

Definizione
Euclide diede questa definizione di punto:
"Un punto è ciò che non ha parti"
Il punto è l'ente geometrico più elementare.
Non ha alcuna dimensione, cioè è impossibile determinare la sua lunghezza, la sua altezza e il suo spessore.






La retta è un insieme infinito e continuo di punti che hanno sempre la stessa direzione. E' illimitata da entrambe le direzioni. Come già il punto, anche la retta non esiste nella realtà materiale perché non ha né spessore né larghezza. L’unica dimensione della retta è la lunghezza. Si indica con le lettere minuscole dell’alfabeto.

Vediamo ora il piano, anche questo non esistente nella realtà concreta, perché è un insieme continuo ed infinito di rette, privo di spessore, con due sole dimensioni: lunghezza e larghezza. Per indicarlo si usano le lettere minuscole dell’alfabeto greco (α, β, , ….). Nella figura è rappresentato il piano attraversato perpendicolarmente da due rette.




La semiretta è una retta interrotta da un punto “P” che forma due semirette. Il punto viene chiamato punto di origine.


Mentre due punti su una retta delimitano quello che viene chiamato segmento. I due punti sono definiti estremi del segmento. 


Si definisce angolo l'insieme dei punti ottenuti facendo ruotare attorno al punto O (vertice) la semiretta r fino a r'




Con questa definizione si creano delle ambiguità, una di queste è il senso di rotazione: per convenzione un angolo positivo si costruisce con una rotazione antioraria e viceversa.

Quindi per costruire un angolo devo avere

  1. una coppia ordinata di rette (r, r')

  2. rotazione in senso antiorario se l'angolo specificato è positivo

In realtà due semirette con la stessa origine dividono un piano in due parti (e quindi danno origine correttamente non ad un angolo bensì a due): quella ricompresa tra le due semirette che determina un angolo convesso e ciò che "resta al di fuori" che è un angolo concavo o in alcune definizione quello che contiene il prolungamento delle semirette dal vertice.




Alcune definizioni :







Misura degli angoli

Per misurare un angolo occorre fissarne l’unità di misura. Gli angoli possono essere misurati in:

Misura degli angoli in gradi sessagesimali

Come unità pratica di misura per gli angoli si assume il grado sessagesimale, che si definisce come la 360ª parte di un angolo giro. Il grado viene indicato con il simbolo [ ° ]. Quando si usano i gradi, vengono utilizzati anche dei sottomultipli:

- il minuto primo o semplicemente primo, pari alla 60ª parte del grado; i primi vengono indicati con il simbolo [ ' ];

-- il minuto secondo o semplicemente secondo, pari alla 60ª parte del primo e alla 3600ª parte del grado; i secondi vengono indicati con il simbolo [ '' ].

La notazione in gradi, primi e secondi è anche detta in sigla DMS (Degree, Minute, Second ovvero Gradi - Minuti - Secondi). I sottomultipli del grado, oltre che in primi e secondi, possono essere espressi in un altro modo, la cosiddetta modalità decimale DD (Decimal Degree). Le calcolatrici scientifiche lavorano normalmente fornendo le misure angolari in modalità decimale.

 

· Per convertire il valore di un angolo da gradi, minuti e secondi in gradi decimali si usa la seguente formula:


· Per convertire il valore di un angolo espresso in gradi decimali in uno in gradi, minuti e secondi si usa la seguente procedura:

1)   la parte intera in gradi è la stessa;

2)   la parte decimale viene moltiplicata per 60; di tale prodotto la parte intera dà il valore dei minuti;

3)   si moltiplica la parte decimale del prodotto ancora per 60: il risultato è il valore dei secondi.

Esempio volendo convertire 52,4725° in gradi DMS si ha:

1)    D = 52°

2)    0,4725° · 60 = 28,35 cioè M = 28'

3)    0,35 · 60 = 21” cioè S = 21”

e quindi 52,4725° (DD) equivale a 52° 28' 21”

Misura degli angoli in radianti


Circonferenza generica di raggio R=OA

Assegnata una generica circonferenza di raggio OA, indichiamo con l’angolo AÔP :

La misura dell’angolo in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza L dell’arco formato dall’angolo nella circonferenza e la lunghezza R del raggio OA:

 

Tale rapporto non dipende dal raggio della circonferenza, ma se faccio due circonferenze (vedi disegno sotto) e traccio una linea che crea un angolo i due rapporti che si creano (arco/raggio) sono uguali e rappresentano un numero reale espresso in radianti :




Con l'utilizzo della circonferenza goniometrica (detta anche circonferenza unaria), che ha raggio 1 per convenzione, l'angolo è uguale all'arco

ed equazione

DEFINIZIONE : il radiante è la lunghezza del percorso che parte dalla linea di partenza p.to A(1,0) (definito origine degli archi) e seguendo la linea della circonferenza goniometrica raggiunge il punto P (in senso antiorario per gli angoli positivi).

Osserviamo che la misura in radianti di un angolo è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto tra due lunghezze, anche se a volte viene indicato con [rad].

Se considero angoli inferiori all'angolo giro


se invece considero angoli superiori all'angolo giro all'ora l'intervallo è definito da dove l'angolo è definito da t + K rotazioni complete ()




Valori in radianti dell’angolo giro e dell’angolo piatto.

L'angolo giro corrisponde all'angolo dell'intera circonferenza (360°). Quindi sapendo che la circonferenza è data da dalla definizione otteniamo che l'angolo giro in radianti vale

Il valore dell’angolo piatto in radianti è poi ricavato ricordando che l’angolo piatto è la metà dell’angolo giro (180°) e pertanto:

 

Conversione tra gradi e radianti.

È possibile convertire la misura di un angolo da gradi sessagesimali (DD) in radianti e viceversa. Per operare tale trasformazione si usa la seguente proporzione, basata sul fatto che conosciamo l’espressione dell’angolo piatto sia in gradi sia in radianti:

Si faccia attenzione al fatto che nella proporzione l’angolo è espresso in forma decimale. Risolvendo la proporzione si ha:

· per passare da gradi a radianti:

· per passare da radianti a gradi:

Utilizzando la prima relazione di conversione ricaviamo la seguente tabella, che esprime i valori in radianti dei principali angoli (ANGOLI NOTEVOLI):

Esempio 1. Convertire l’angolo = 47° 25’ 50’’ in radianti.

In primo luogo esprimiamo la misura dell’angolo in forma decimale:





Applichiamo la formula di conversione per ricavare il valore in radianti:

 

Esempio 2. Convertire l’angolo a = 1,3252 in gradi.

In primo luogo ricaviamo la misura dell’angolo in gradi nella forma decimale:

Esprimiamo poi il valore dell’angolo in forma DMS (gradi, minuti e secondi):

 

Lunghezza dell'arco di circonferenza

La lunghezza di un arco di circonferenza è immediatamente ricavabile quando si lavora con gli angoli misurati in radianti; infatti, invertendo la definizione di radianti, si ottiene:

Dunque dato l'angolo sotteso dall'arco e il raggio della circonferenza un semplice prodotto ci porta ad avere la lunghezza d'arco corrispondente.

Una relazione così semplice ed immediata è impossibile con l'uso dei gradi.

Esempio 1. Si voglia calcolare la misura in gradi (DMS) dell’angolo a sotteso da un arco di circonferenza la cui lunghezza L è 17 m e il cui raggio R è 8,5 m.

Calcoliamo il valore dell’angolo a in radianti:

Successivamente convertiamo tale valore in gradi decimali:

e in gradi DMS:



Esempio 2. Si voglia calcolare la lunghezza L di un arco di circonferenza sotteso da un angolo a la cui misura in gradi (DMS) è 25° 35’ 48’’ e il cui raggio R è  16 m.

Come primo passo esprimiamo il valore dell’angolo in gradi decimali (DD):

Calcoliamo poi il valore dell’angolo in radianti:

Infine calcoliamo la lunghezza dell’arco L: