Circonferenza goniometrica

 

La Circonferenza Goniometrica è la circonferenza di centro O(0;0) e raggio 1.

Ricordiamo che in base alla Geometria Analitica una circonferenza di centro  

e raggio r ha come equazione:

 

 

Sostituendo  si ha:

 

ottenendo così:

 

 

 

 

Coincidenza tra archi ed angoli sulla circonferenza goniometrica.

Poiché sulla circonferenza goniometrica il raggio OA è unitario, la misura in radianti di un angolo assume un valore particolare:

 

 

 

Si ottiene così che sulla circonferenza goniometrica la misura dell’angolo in radianti coincide con la lunghezza dell’arco corrispondente. Per questo motivo in seguito si parlerà indifferentemente di angoli o archi.

 

Archi o angoli orientati.

Si assume che il punto A sia l’origine degli archi, e che il lato OA sia l’origine degli angoli.

Si considera positivo il verso di percorrenza antiorario e negativo il verso orario. Avremo allora angoli o archi positivi e angoli o archi negativi a seconda della posizione del punto e del verso di percorrenza. Nella figura a fianco l’arco  (o l’angolo ) è positivo, mentre l’arco  (o l’angolo ) è negativo.

Inoltre si può vedere che ad uno stesso punto P sulla circonferenza goniometrica può corrispondere un angolo positivo o un angolo negativo, a seconda se, partendo da A, si giunge a quel punto percorrendo la circonferenza in senso antiorario od orario.


 

Angoli propri (principale) e angoli impropri.

Immaginiamo di percorrere la circonferenza goniometrica in senso antiorario a partire dal punto A: il valore della lunghezza dell’arco percorso (che coincide con l’ampiezza dell’angolo espressa in radianti) aumenterà via via a partire dal valore 0. Dopo un quarto di giro saremo a π/2 o (90°), dopo mezzo giro saremo a π (180°), dopo un giro completo saremo a 2π (360°).

E se continuiamo? La misura della lunghezza dell’arco percorso (e dell’angolo descritto) aumenterà ulteriormente, oltre 2π o 360°. È dunque possibile definire archi di lunghezza superiore a 2π o angoli di ampiezza maggiore di 360°.

Per chiarezza agli archi la cui ampiezza è non maggiore di una circonferenza sono detti archi (o angoli) propri (principale), mentre quelli la cui ampiezza supera una circonferenza sono detti archi (o angoli) impropri.

La misura dell’ampiezza di un arco o angolo improprio si può sempre ricondurre a quella di un arco proprio più un numero intero di giri, mediante il metodo delle sottrazioni successive.