FUNZIONI GONIOMETRICHE

Definizione di Coseno e Seno

Consideriamo un generico punto P appartenente alla circonferenza goniometrica. Il segmento OP forma con la metà positiva dell’asse x un angolo, indicato con α.

La posizione del punto P può essere facilmente individuata conoscendo il valore di tale angolo.

Essendo inoltre il punto P un punto del piano cartesiano, esso può anche essere individuato dalle sue due coordinate cartesiane, l’ascissa e l’ordinata.

Si definisce allora coseno di α (cos α) l’ascissa del punto P, mentre si definisce seno di α (sen α) l’ordinata del punto P.

Per chiarezza si precisa che il coseno (e il seno) di un angolo non è un segmento ma la misura di un segmento orientato, cioè un numero reale con segno. In altre parole, il coseno dell’angolo α è  la misura del segmento OH, presa con segno positivo se H è a destra di O, con segno negativo se H è a sinistra di O. Analogamente il seno dell’angolo α è  la misura del segmento OK, presa con segno positivo se K è al di sopra di O, con segno negativo se K è al di sotto di O.

• 1ª identità fondamentale della goniometria

Poiché il triangolo OPH è rettangolo, vale il teorema di Pitagora: OH² + HP² = OP²

ma OH=cos α , HP=OK=sen α; OP è il raggio della circonferenza goniometrica e vale 1;

sostituendo avremo dunque

tale relazione prende il nome di 1ª identità fondamentale della goniometria.

Definizione di tangente

Tracciamo la retta verticale, tangente alla circonferenza goniometrica e passante per il punto A (1;0).

Il prolungamento del segmento OP incontra tale retta nel punto Q. Si definisce allora tangente goniometrica dell’angolo α (tg α) l’ordinata AQ del punto Q o in altre parole, la misura del segmento AQ, presa con segno positivo se Q è a al di sopra di A, con segno negativo se Q è al di sotto di A.

Anche in questo caso, come per il coseno e il seno, la tangente di un angolo non è un segmento ma la misura di un segmento orientato, cioè un numero reale con segno (positivo verso l'alto).

• 2ª identità fondamentale della goniometria

Consideriamo i triangoli rettangoli OPH e OQA: essi hanno in comune l’angolo α e sono simili, ovvero i loro lati sono in proporzione.

AQ : OA = HP : OH

ove

AQ = tg α , OA = raggio = 1

HP = OK = sen α e OH = cos α;

sostituendo otteniamo:

Tale relazione prende il nome di 2ª identità fondamentale della goniometria.

Definizione di cotangente

La cotangente è una quarta funzione goniometrica, della  quale si può dare una definizione geometrica, come segue: tracciamo la retta orizzontale, tangente alla circonferenza goniometrica e passante per il punto B (0;1).

Il prolungamento del segmento OP incontra tale retta nel punto R. Si definisce allora cotangente goniometrica dell’angolo a  l’ascissa del punto R, o in altre parole, la misura del segmento BR, presa con segno positivo se R è a destra di B, con segno negativo se R è sinistra di B.

Mediante considerazioni di carattere geometrico si può vedere che la cotangente può essere anche definita più semplicemente come il reciproco della tangente:

seno, coseno e tangente degli angoli notevoli :

Qualche dimostrazione

Graficamente è facile vedere che il seno e il coseno sono funzioni periodiche

e si ripetono ogni 2:

mentre la tangente è periodica, ma si ripete ogni

FORMULE ADDIZIONE :

1 -

2 - ( i due fattori sono distinti e invertono il segno)

3 -

4 - ( i due fattori sono misti e mantengono il segno)

5 -

6 -

FORMULE DI DUPLICAZIONE :

(si ricava dalla formula addizione)

FORMULE DI WERNER (prodotto → somma)

ricavata dalla somma membro a membro 1 - 2 form. Addizione

ricavata dalla sottrazione membro a membro della 2 – 1 form. addizione

ricavata dalla somma membro a membro 3 - 4 form. addizione

la terza formula si ricava facendo la somma tra la 3 – 4 formula di addizione.

FORMULE DI PROSTAFERESI ( somma → moltiplicazione)

FORMULE DI BISEZIONE

IL PANNELLO SOLARE

Si vuole installare su una terrazza di Roma un pannello solare quadrato, di lato

3m. I costruttori raccomandano d’installare il pannello in modo che formi con il

piano orizzontale un angolo di 10° inferiore rispetto alla latitudine del luogo.

Sapendo che Roma si trova ad una latitudine di 41°:

1. Di quanti gradi dovrà essere inclinato il pannello ?

2. A che altezza da terra arriverà la sommità del pannello?

3. A che distanza dalla parete si troverà la sua base ?

Soluzione

Il pannello dovrà essere inclinato di 31°

Usando le funzioni trigonometriche, possiamo scrivere :

AB AH = sen α

AB HB = cos α

cioè AH = AB sen α e HB = AB cos α. Sostituendo i valori numerici, si ottiene :

AH = 3 sen 31° e HB=3 cos 31°.

Quindi : AH ≈ 1,545 m e HB ≈ 2,571 m.

esempio di applicazione delle funzioni trigonometriche : abbiamo risolto un triangolo rettangolo (noti alcuni elementi del triangolo ci siamo determinati lati e angoli).