NUMERI IMMAGINARI e NUMERI COMPLESSI

Nello studio della matematica si assiste a una progressiva estensione del concetto di numero. Dall'insieme dei numeri naturali a quello dei numeri relativi per l'esigenza di avere i numeri negativi utili a rappresentare fenomeni fisici. Poi L'esigenza delle frazioni e quindi della divisione ha portato ai numeri razionali . ma ben presto c'è stata la necessità di risolvere equazioni del tipo che non ha soluzioni nell'insieme razionale, ma in quello dei numeri irrazionali (numeri sotto radice o che non si possono ottenere da un rapporto) dell'insieme dei numeri reali ne ha ben due ossia . Successivamente si voleva risolvere l'equazione

E qualsiasi numero reale elevato al quadrato è un numero reale positivo. Quest'ultimo problema è comune a tutte le equazioni di secondo grado con discriminante negativo (situazione in cui si scriveva : “non ci sono soluzioni reali”). Per risolvere questo problema è stato inserito un nuovo simbolo :

l'UNITA' IMMAGINARIA : i

Da qui nascono i NUMERI IMMAGINARI formati da

Da questo istante diventa che è un numero immaginario. Ora è possibile risolvere le equazioni di secondo grado con discriminante negativo, questo da come risultato due numeri immaginari opposti.

Dove si colloca questo numero ?

L'estensione consiste nel passaggio da una dimensione della retta dei reali

a due dimensioni (anche se i numeri immaginari sono rappresentati dagli infiniti punti continui della ordinata del grafico cartesiano (chiamato, quando rappresenta numeri immaginari e numeri complessi (li vedremo tra poco), piano di Gauss.

SOMMA E SOTTRAZIONE DEI NUMERI IMMAGINARI :

PRODOTTO DI NUMERI IMMAGINARI

prodotto di un numero immaginario ib per un numero reale n

prodotto tra due numeri immaginari (il segno finale dipende dal segno dei due coefficienti

DIVISIONE DI NUMERI IMMAGINARI

nel rapporto tra numeri immaginari, il simbolo i si semplifica ed esce un numero reale

POTENZA N-ESIMA DI UN NUMERO IMMAGINARIO

l'esponente n incide sul tipo di risultato (reale o immaginario) e sul segno.

Ricordo i valori ciclici =

Ogni radice quadrata di un numero negativo è un multiplo di i :

come si vede da questo esempio la è i2

NUMERI COMPLESSI

Il NUMERO COMPLESSO è una coppia ordinata di numeri reali (a,b) chiamati rispettivamente parte reale e parte immaginaria. Può essere rappresentato in tre modi :

FORMA CARTESIANA

Una lettera maiuscola identifica il numero (di solito Z, W) e il segno + (o in alcuni casi -) non è una somma ma permette di tenere unite le due parti dello stesso numero e usare le stesse regole dell'algebra dei numeri reali.

Questo modo di rappresentare il numero complesso si dice FORMA CARTESIANA. Come si può vedere, posso identificarlo con il punto (a,b) del piano, che in questo caso è detto piano di Gauss. Posso identificare il numero a due dimensioni.

Si può notare che il numero reale è un particolare numero complesso : parte immaginaria b = 0;
Si può notare che il numero immaginario è un particolare numero complesso : parte reale a=0;

Alcune definizioni sui numeri complessi :

UGUALI : due numeri complessi sono uguali se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria (sia coefficienti che segno);
MAGGIORE o MINORE : NON è possibile confrontare i numeri complessi;
CONIUGATO : quando due numeri complessi hanno tutto uguale ma il segno della parte immaginaria è opposta (es. Z = 2+i3 - Z=2-i3). Come si può vedere dall'esempio, un numero immaginario coniugato viene identificato dalla negazione della lettera che identifica il numero. A sinistra alcune proprietà dei numeri complessi coniugati.
OPPOSTI : quando i coefficienti sono uguali ma hanno entrambi i segni opposti (es. Z=2+i3 il suo opposto è -Z=-2-i3)

OPERAZIONI MATEMATICHE CON I NUMERI COMPLESSI

nei calcoli uso le stesse regole studiate nei monomi, uso la i come una lettera che distingue il suo monomio (devo però tener conto del fatto che in realtà i è un numero che muta al variare del suo esponente).

SOMMA E SOTTRAZIONE

la somma di due numeri coniugati ha come risultato un numero reale doppio dei reali.

PRODOTTO

in particolare va evidenziato il prodotto di due numeri coniugati :

MODULO

prime di proseguire è importante introdurre il concetto di modulo di un numero complesso : numero reale sempre positivo che fornisce la distanza dall'origine.

DIVISIONE

prima di tutto vediamo il RECIPROCO di un numero complesso :

ora vediamo la divisione tra due numeri complessi : in pratica si moltiplica il primo per il reciproco del secondo

dimostrazione :

POTENZA

La potenza di un numero complesso si sviluppa come la potenza dei binomi nei polinomi :

Ovviamente man mano che l'esponente aumenta di grado, i conti si fanno sempre più difficili. Vedremo che non è conveniente usare la forma cartesiana per la moltiplicazione, la divisione, l'elevamento a potenza e le radici.

FORMA TRIGONOMETRICA

Il numero complesso è rappresentato graficamente da un vettore con origine nell'incrocio degli assi, quindi si presta alle funzioni matematiche, infatti

quindi

in cui è il modulo e è l'argomento (angolo del vettore rispetto alla direzione positiva dell'ascissa). Questa forma, vedremo, è ideale per operazioni di : moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza e radice di un numero complesso.

MOLTIPLICAZIONE CON LA FORMA TRIGONOMETRICA

Se prendo due numeri complessi in forma trigonometrica (oppure li trasformo) ottengo :

quindi il prodotto dei moduli e la somma degli argomenti (angoli)

DIVISIONE CON LA FORMA TRIGONOMETRICA

Se prendo due numeri complessi in forma trigonometrica (oppure li trasformo) ottengo :

quindi il rapporto tra i moduli e la differenza degli argomenti (angoli). Ovviamente è fondamentale che il denominatore sia diverso da 0 ().

ELEVAMENTO A POTENZA CON LA FORMA TRIGONOMETRICA

(formula di DE MOIVRE)

vale quando un numero complesso viene elevato ad un numero intero :

con . Anche per le potenze, valgono le stesse regole dei numeri reali R. Dati due numeri complessi Z e W :

RADICE N-ESIMA CON LA FORMA TRIGONOMETRICA

dato il numero complesso Z, si dice radice n-esima di Z ogni numero complesso W che :

ogni numero complesso (non nullo) ha esattamente n radici n-esime diverse, che si ottengono attribuendo, nella formula data, i valori di
Per K=n o valori negativi si ripetono gli stessi valori periodicamente.
E' utile sapere che il risultato grafico avrà n punti sul piano di Gauss che identificano i vertici di un poligono regolare (n lati) inscritto in una circonferenza di raggio